Operasi Matriks di MS Excel

Oleh : juragan | Excel | 28/07/09 |

MS Excel tidak banyak menyediakan fungsi khusus untuk operasi matriks. Untuk operasi aritmetika biasa seperti penjumlahan dan pengurangan, kita bisa lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan seperti biasa sesuai dengan elemen-elemen matriks yang dijumlahkan.

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

\mathbf{B} = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right)

\mathbf{C = A + B} \\ \\ \mathbf{C} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{array} \right)

Yang agak sulit dilakukan secara manual adalah perkalian dua matriks. Untungnya MS Excel menyediakan fungsinya, yaitu MMULT(array1,array2). Selain itu ada juga fungsi untuk mencari determinan matriks, MDETERM(array). Dan terakhir, fungsi untuk membuat matriks invers, MINVERSE(array). Berikut ini penjelasan dan cara pakai masing-masing fungsi.

A. Perkalian Dua Matriks

Fungsi : MMULT(array1, array2)

array1 adalah blok matriks pertama yang berukuran (m x n), dan array 2 adalah blok matriks kedua yang berukuran (n x k).

Hasilnya adalah sebuah matriks yang berukuran (m x k)

Contoh :

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 15 & -10 & 8 \\ -8 & 15 & 10 \\ 0 & 0 & -10 \\ 10 & 9 & -12 \end{bmatrix}

\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}

Kita akan menghitung \mathbf{C = A } \times \mathbf{ B} Ukuran matriks A adalah 4×3, matriks B adalah 3×2, sehingga matriks C nanti harus berukuran 4×2.

1. Buat matriks A dan B di MS Excel seperti gambar berikut
20-matriks-01
2. Ketik fungsi =MMULT(B1:E4,H1:H4). Tekan ENTER. B1:E4 adalah blok untuk matriks A, dan H1:H4 adalah blok untuk matriks B 20-matriks-02
3. Hasilnya adalah 59 yang merupakan komponen baris pertama kolom pertama dari hasil perkalian AxB, diperoleh dari (15 \times 1) + (-10 \times -2) + (8 \times 3) = 59
4. Pilih sel (blok) dengan ukuran 4 baris 2 kolom, sesuai dengan ukuran matriks C yaitu hasil perkalian matriks A dan B. Pastikan sel kiri atas dari blok tersebut dalam keadaan aktif.
20-matriks-03
5. Tekan tombol F2.
20-matriks-04
6. Kemudian tekan kombinasi tombol Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-05
Dalam sekejap seluruh sel yang ada di dalam blok langsung terisi sesuai dengan nilai yang sesuai.
7. Coba kita cek, baris ketiga kolom kedua adalah perkalian dari baris ketiga matriks A dengan kolom kedua matriks B (0 \times -1) + (0 \times 2) + (-10 \times -3) = 30

B. Menentukan Determinan Matriks

Fungsi : MDETERM(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom matriks harus sama (m x m)

Contoh:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

1. Buat matriks M
20-matriks-06
2. Ketik fungsi =MDETERM(B12:E15)
20-matriks-07
3. Tekan ENTER
20-matriks-08
4. Determinannya adalah -196

C. Membuat Matriks Invers

Fungsi : MINVERSE(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom harus sama (m x m)

Contoh, kita akan membuat invers matriks M di atas.

1. Ketik fungsi =MINVERSE(B12:E15) 20-matriks-09
2. Pilih sel (blok) sesuai dengan ukuran matriks (4×4)
20-matriks-10
3. Pastikan sel kiri atas aktif. Tekan F2. Kemudian tekan Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-11
4. Itulah matriks invers dari M

Untuk mengujinya, pekalian sebuah matriks dengan invers-nya akan menghasilkan matriks identitas I

1. Ketik fungsi =MMULT(B12:E15,B21:E24). Tekan ENTER.
20-matriks-12
2. Pilih sel (blok) sesuai ukuran matriks (4×4). Pastikan sel kiri atas yang aktif.
20-matriks-13
3. Tekan F2
20-matriks-14
4. Tekan Ctrl + Shift + ENTER
20-matriks-15
5. Atur formatnya. Kekacauan format disebabkan oleh tingkat keterbatasan ketelitian (presisi) bilangan desimal. 20-matriks-16

D. Membuat Matriks Transpose Matriks transpose adalah matriks yang kolomnya berubah menjadi baris, dan barisnya menjadi kolom. Tidak ada fungsi khusus di MS Excel untuk membuat matriks transpose. Akan tetapi, dengan fasilitas Edit -> Paste Special, kita bisa membuat matriks transpose.

1. Pilih matriks yang akan ditranspose
2. Klik toolbar Copy, atau menu Edit -> Copy, atau Ctrl + C
3. Pilih sel tujuan.
4. Klik kanan -> Paste Special, atau klik menu Edit -> Paste Special
5. beri tanda centang pada option Transpose. Klik OK

Penutup Fungsi-fungsi operasi matriks dan fasilitas traspose matriks yang ada pada MS Excel ini sangat dapat diandalkan dalam menyelesaikan analisis struktur metoda matriks kekakuan. Matriks kekakuan dengan ukuran puluhan baris dan kolom pun dapat diselesaikan dalam hitungan sepersekian detik. Kami sendiri pernah melakukan operasi perkalian matriks (matriks kekakuan struktur) dengan ukuran mencapai 80 baris dan kolom menggunakan MS Excel… hasilnya adalah.. pegeelll :D Semoga bermanfaat[]

SNI-Beton : Jarak Antar Tulangan

Oleh : juragan | Beton | 23/07/09 |

Kadang sewaktu mendesain struktur beton bertulang, kita ingin menggunakan tulangan yang sangat banyak atau justru sangat sedikit. Jika tulangannya banyak, maka jarak antar tulangan menjadi sangat rapat, sebaliknya jika sedikit, maka jaraknya menjadi renggang. SNI-Beton-2002 sebenarnya sudah memberikan batasan jarak atau spasi antar tulangan baik itu untuk balok, kolom, pelat, maupun dinding.

(selengkapnya…)

Menggambar Ilustrasi di MS Excel

Oleh : admin | Excel | 16/07/09 |

Kata pepatah, sebuah gambar ilustarsi dapat mewakili ribuan kata. Itulah sebabnya di situs ini saya usahakan menyisipkan sedikit gambar ilustrasi di setiap artikel jika memang diperlukan.

Untuk membuat ilustrasi tersebut, saya bisa saja menggunakan software pengolah grafis yang populer seperti mmm.. Adobe Photoshop, Illustrator, atau yang lain. Tapi, nyatanya saya hanya menggunakan MS Excel dalam membuat gambar dan diagram ilustrasi. Dulu saya mengkolaborasikan MS Excel dan Portable Gimp (software pengolah gambar yang gratis dan portabel), MS Excel untuk membuat gambar, Gimp untuk mengekspor ke format *.gif. Namun, sekarang saya menggunakan MS Excel 100% untuk membuat gambar dan menyimpannya ke dalam bentuk gif, png, atau jpeg. Mantap tho?

Bagaimana caranya? Silahkan simak tutorial berikut ini.
(selengkapnya…)

Menghitung Momen Insersia (2)

Oleh : juragan | Geometri | 15/07/09 |

Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok.. :)

Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya

I_x = \int y^2 dA

Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah

I_{x'} = I_x + Ay^2

Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

(selengkapnya…)