Author Archives: juragan

Momen Inersia Juga Bisa Dikurangkan

Pada dasarnya, dalam operasi matematika khususnya geometri, sesuatu yang bisa dijumlahkan, tentu bisa juga dikurangkan. Atau dengan kata lain, pengurangan sama dengan penjumlahan negatif. Contohnya waktu mencari luas atau volume sebuah bentuk. Bentuk T misalnya.
Balok T

Luas bentuk T di atas bisa diperoleh dengan menjumlahkan persegi-persegi panjang yang menyusun bentuk T tersebut. Bisa dengan cara ini:

Continue reading

Advertisements

Oleh-Oleh Dari Padang

padang Belum terlambat untuk mengucapkan turut berduka cita atas koban musibah gempa di Padang beberapa waktu lalu (30/09/09). Pembicaraan mengenai musibah tersebut pun sering terdengar di mana-mana, entah itu di pemberitaan TV, radio, obrolan sehari-hari, infotainment, dan juga di media internet: berita online, blog, sampai status facebook dan twitter.

Nah, dalam bidang keilmuan khususnya teknik sipil, topik ini juga tidak sepi dari berbagai macam diskusi, forum, maupun kajian-kajian keilmuan. Bagaimana tidak? Sebagian besar hasil karya mereka (para engineer) diuji langsung oleh alam (baca: Tuhan). Tidak sedikit rekan berkomentar, “di sinilah ketahuan, mana perencana yang benar, mana yang asal-asalan”. Kalopun perencananya sudah benar, berarti pelaksananya yang nggak beres. 🙂

Kami sendiri, alhamdulillah berkesempatan mengunjungi area tersebut 2 hari setelah gempa terjadi. Perjalanan kami adalah perjalanan tugas dari tempat kerja sehubungan dengan adanya permintaan dari perusahaan tertenu untuk melihat kondisi beberapa bangunan milik mereka. Sambil menyelam, minum air. Sambil bertugas, kita belajar. Di sela-sela waktu itulah kami gunakan untuk berkeliling seputar kota Padang tidak hanya sekedar melihat bangunan yang rubuh, tapi juga mencoba menganalisa, mengapa bangunan tersebut bisa rubuh, sementara bangunan di sebelahnya masih kokoh?

Inilah beberapa hasil tinjauan kami.

Continue reading

Operasi Matriks di MS Excel

MS Excel tidak banyak menyediakan fungsi khusus untuk operasi matriks. Untuk operasi aritmetika biasa seperti penjumlahan dan pengurangan, kita bisa lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan seperti biasa sesuai dengan elemen-elemen matriks yang dijumlahkan.

\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)

\mathbf{B} = \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array} \right)

\mathbf{C = A + B} \\ \\ \mathbf{C} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{array} \right)

Yang agak sulit dilakukan secara manual adalah perkalian dua matriks. Untungnya MS Excel menyediakan fungsinya, yaitu MMULT(array1,array2). Selain itu ada juga fungsi untuk mencari determinan matriks, MDETERM(array). Dan terakhir, fungsi untuk membuat matriks invers, MINVERSE(array). Berikut ini penjelasan dan cara pakai masing-masing fungsi.

A. Perkalian Dua Matriks

Fungsi : MMULT(array1, array2)

array1 adalah blok matriks pertama yang berukuran (m x n), dan array 2 adalah blok matriks kedua yang berukuran (n x k).

Hasilnya adalah sebuah matriks yang berukuran (m x k)

Contoh :

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 15 & -10 & 8 \\ -8 & 15 & 10 \\ 0 & 0 & -10 \\ 10 & 9 & -12 \end{bmatrix}

\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{bmatrix}

Kita akan menghitung \mathbf{C = A } \times \mathbf{ B} Ukuran matriks A adalah 4×3, matriks B adalah 3×2, sehingga matriks C nanti harus berukuran 4×2.

1. Buat matriks A dan B di MS Excel seperti gambar berikut
20-matriks-01
2. Ketik fungsi =MMULT(B1:E4,H1:H4). Tekan ENTER. B1:E4 adalah blok untuk matriks A, dan H1:H4 adalah blok untuk matriks B 20-matriks-02
3. Hasilnya adalah 59 yang merupakan komponen baris pertama kolom pertama dari hasil perkalian AxB, diperoleh dari(15 \times 1) + (-10 \times -2) + (8 \times 3) = 59
4. Pilih sel (blok) dengan ukuran 4 baris 2 kolom, sesuai dengan ukuran matriks C yaitu hasil perkalian matriks A dan B. Pastikan sel kiri atas dari blok tersebut dalam keadaan aktif.
20-matriks-03
5. Tekan tombol F2.
20-matriks-04
6. Kemudian tekan kombinasi tombol Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-05
Dalam sekejap seluruh sel yang ada di dalam blok langsung terisi sesuai dengan nilai yang sesuai.
7. Coba kita cek, baris ketiga kolom kedua adalah perkalian dari baris ketiga matriks A dengan kolom kedua matriks B(0 \times -1) + (0 \times 2) + (-10 \times -3) = 30

B. Menentukan Determinan Matriks

Fungsi : MDETERM(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom matriks harus sama (m x m)

Contoh:

\mathbf{M} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 4 & -5 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

1. Buat matriks M
20-matriks-06
2. Ketik fungsi =MDETERM(B12:E15)
20-matriks-07
3. Tekan ENTER
20-matriks-08
4. Determinannya adalah -196

C. Membuat Matriks Invers

Fungsi : MINVERSE(array)

Syarat: jumlah baris dan kolom harus sama (m x m)

Contoh, kita akan membuat invers matriks M di atas.

1. Ketik fungsi =MINVERSE(B12:E15) 20-matriks-09
2. Pilih sel (blok) sesuai dengan ukuran matriks (4×4)
20-matriks-10
3. Pastikan sel kiri atas aktif. Tekan F2. Kemudian tekan Ctrl + Shift + Enter.
20-matriks-11
4. Itulah matriks invers dari M

Untuk mengujinya, pekalian sebuah matriks dengan invers-nya akan menghasilkan matriks identitas I

1. Ketik fungsi =MMULT(B12:E15,B21:E24). Tekan ENTER.
20-matriks-12
2. Pilih sel (blok) sesuai ukuran matriks (4×4). Pastikan sel kiri atas yang aktif.
20-matriks-13
3. Tekan F2
20-matriks-14
4. Tekan Ctrl + Shift + ENTER
20-matriks-15
5. Atur formatnya. Kekacauan format disebabkan oleh tingkat keterbatasan ketelitian (presisi) bilangan desimal. 20-matriks-16

D. Membuat Matriks Transpose Matriks transpose adalah matriks yang kolomnya berubah menjadi baris, dan barisnya menjadi kolom. Tidak ada fungsi khusus di MS Excel untuk membuat matriks transpose. Akan tetapi, dengan fasilitas Edit -> Paste Special, kita bisa membuat matriks transpose.

1. Pilih matriks yang akan ditranspose
2. Klik toolbar Copy, atau menu Edit -> Copy, atau Ctrl + C
3. Pilih sel tujuan.
4. Klik kanan -> Paste Special, atau klik menu Edit -> Paste Special
5. beri tanda centang pada option Transpose. Klik OK

Penutup Fungsi-fungsi operasi matriks dan fasilitas traspose matriks yang ada pada MS Excel ini sangat dapat diandalkan dalam menyelesaikan analisis struktur metoda matriks kekakuan. Matriks kekakuan dengan ukuran puluhan baris dan kolom pun dapat diselesaikan dalam hitungan sepersekian detik. Kami sendiri pernah melakukan operasi perkalian matriks (matriks kekakuan struktur) dengan ukuran mencapai 80 baris dan kolom menggunakan MS Excel… hasilnya adalah.. pegeelll 😀 Semoga bermanfaat[]

nb: maaf, ada sedikit gangguan dengan artikel ini. Tiba-tiba saja semua gambar ilustrasinya hilang. Mohon maaf. (admin, 24/05/10)

SNI-Beton : Jarak Antar Tulangan

Kadang sewaktu mendesain struktur beton bertulang, kita ingin menggunakan tulangan yang sangat banyak atau justru sangat sedikit. Jika tulangannya banyak, maka jarak antar tulangan menjadi sangat rapat, sebaliknya jika sedikit, maka jaraknya menjadi renggang. SNI-Beton-2002 sebenarnya sudah memberikan batasan jarak atau spasi antar tulangan baik itu untuk balok, kolom, pelat, maupun dinding.

Continue reading

Menghitung Momen Insersia (2)

Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok.. 🙂

Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya

I_x=\int y^2 dA

Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah

I_{x'} = I_x + Ay^2

Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

Continue reading

Menulis Persamaan Matematika di WordPress (3)

Pada bagian ini kita coba bahas tentang bagaimana memodifikasi penampilan latex. Yang bisa diatur antara lain : ukuran huruf, warna huruf, dan warna background.

Review sekali lagi… untuk membuat persamaan matematika di wordpress, kita cukup menyisipkan kode latex di antara tag “$latex” dan “$” (nggak pake tanda quote/petik ya.. itu cuma buat mengecoh wordpress). Kode-kode latex itu sudah sebagian kami bahas di bagian1 dan bagian2. Kali ini kita akan lanjutkan sedikit demi sedikit.

(kenapa sedikit demi sedikit, paman? nggak sekalian aja?)

Yaa.. biar yang baca nggak bosan.. gitu lho. Biar nggak kehabisan materi buat ngisi blog ini juga.. hihihi.

Continue reading

Grafik Kapasitas Profil Baja WF

Kali ini kami mau berbagi sebuah..eh.. beberapa buah grafik yang bisa dijadikan “pedoman singkat” dalam mendesain elemen baja dalam menahan beban lentur dan aksial tekan, khusus profil WF. Lha.. kenapa hanya WF? Karena baru itu yang kami punya.. 😀

Grafik ini kami buat di MS Excel, dengan mengambil profil baja WF dari Gunung Garuda. Yang sedikit “tidak biasa” dalam pembuatan grafik ini adalah metode dan kode/standard yang digunakan. Kami tidak menggunakan standar perencanaan baja yang kebanyakan digunakan di Indonesia, baik itu SNI-Baja-2002 maupun AISC-LRFD. Akan tetapi kami menggunakan Australian Standard, AS-4100.

Bagaimana wujud grafiknya?

Continue reading