Momen Inersia Segitiga

gambar_19527_image001Menghitung Momen Inersia Segitiga

Setelah membahas perhitungan momen inersia bentuk persegi, kali ini kita akan coba hitung sendiri momen inersia segitiga, soalnya bentuk ini juga merupakan bentuk geometri dasar yang banyak digunakan.

Khusus untuk structural engineering, bentuk penampang segitiga mungkin sangat jarang digunakan untuk dijadikan penampang elemen struktur. Bentuk trapesium sendiri bisa dikatakan gabungan dari lebih dari satu penampang persegi dan atau penampang segitiga.

Trapesium sebagai bentuk gabungan segitiga-segitiga

Penampang balok jembatan biasanya paling banyak menggunakan bentuk-bentuk gabungan persegi dan segitiga.

Penampang balok girder jembatan

Sementara bentuk segitiga terpancung, bisa kita lihat pada salah satu pondasi tipe minipile (pondasi tiang pancang yang ukurannya penampangnya relatif kecil).

Pondasi minipile penampang segitiga

Pondasi minipile penampang segitiga

Momen Inersia Segitiga

Bentuk dasar segitiga secara umum bisa digambarkan sebagai segitiga siku-siku. Bentuk-bentuk segitiga yang lain bisa diturunkan dari penggabungan atau pengurangan dua atau lebih segitiga siku-siku.

gambar_19527_image002

Kembali ke bentuk dasar, segitiga siku-siku dapat dikatakan mempunyai dua variabel utama, panjang alas b , dan tinggi h.

Ada dua cara menentukan persamaan momen inersia segitiga, yang pertama dengan cara menentukan momen inersia langsung di sumbu titik berat segitiga, dan yang kedua melalui transformasi momen inersia dari luar sumbu titik berat.

A. Cara I

gambar_19527_image005

Kami rasa kita tidak perlu bersusah payah mencari lokasi titik berat segitiga, soalnya sudah jadi rahasia umum kalau titik berat segitiga selalu berada pada sepertiga lebar alas dan sepertiga tinggi.

Kita akan menentukan formula momen inersia terhadap sumbu x (I_{xx} ).
Selanjutnya kita ikuti prosedur di bawah:

  1. Tentukan lokasi garis berat sejajar sumbu x.
  2. Buat elemen dA pada jarak tertentu dari sumbu x, katakanlah jaraknya adalah y . Elemen dA tersebut mempunyai lebar b_y dan tinggi dy
    gambar_19527_image006
  3. dA = b_y dy
  4. Besarnyab_y berbeda-beda untuk setiap nilai y .
    Jika y = - \dfrac{h}{3} , maka b_{y=\frac{-h}{3}} = b .
    Jika y = \dfrac{2h}{3} , maka b_{y=\frac{2h}{3}} = 0 .
    Sehingga bisa dituliskan,
    \begin{array}{rl} \dfrac{b_y - b}{0 - b} &= \dfrac{y - \frac{-h}{3}}{\frac{2h}{3} - \frac{-h}{3}} \\ \\ b_y &= b - b \big( \dfrac{y + \frac{h}{3}}{h} \big) \\ \\ &= b - \dfrac{by}{h} - \dfrac{b}{3} \\\\ b_y &= b ( \dfrac23 - \dfrac{y}{h}) \end{array}
  5. Momen inersia I_{xx}
    \begin{array}{rl} I_{xx} &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} y^2 b \big( \dfrac23 - \dfrac{y}{h} \big) \text{d}y \\\\ &= \int_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \dfrac{2b}{3}y^2 - \dfrac{b}{h} y^3 \text{d}y \\\\ &= \dfrac{2b}{9}y^3 - \dfrac{b}{4h} y^4 \bigg|_{\tfrac{-h}{3}}^{\tfrac{2h}{3}} \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^3-\big(\dfrac{-h}{3} \big)^3 \bigg) - \dfrac{b}{4h} \bigg( \big( \dfrac{2h}{3} \big)^4 - \big(\dfrac{-h}{3}\big)^4 \bigg) \\\\ &= \dfrac{2b}{9} \big( \dfrac{8h^3}{27} + \dfrac{h^3}{27} \big) - \dfrac{b}{4h} \big( \dfrac{16h^4}{81} - \dfrac{h^4}{81} \big) \\\\ &= \dfrac{2bh^3}{27} - \dfrac{5bh^3}{108} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}

Jadi, momen inersia segitiga terhadap garis beratnya adalah I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36}

B. Cara II

Cara kedua ini relatif lebih mudah daripada cara yang pertama. Jika cara pertama menggunakan garis berat sebagai sumbu acuan, kali ini kita akan menggunakan alas segitiga sebagai sumbu acuan.

gambar_19527_image007

Kita hitung dulu momen inersia terhadap alas segitiga di atas.

  1. Prosedurnya hampir sama dengan cara I, namun yang membedakan adalah batas atas dan batas bawah pengintegralan. Pada cara yang kedua ini, batas atasnya adalah y = h , dan batas bawahnya adalah y = 0 .
  2. Menentukan b_y .
    b_y = b-\dfrac{b}{h}y
  3. Hitung momen inersia I_{x}
    \begin{array}{rl} I_x &= \int_0^h y^2 \, \text{d}A \\\\ &= \int_0^h y^2 b_y \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h y^2 \big(b-\dfrac{b}{h}y\big) \, \text{d}y \\\\ &= \int_0^h by^2-\dfrac{b}{h}y^3 \\\\ &= \dfrac{b}{3}y^3 - \dfrac{b}{4h}y^4 \bigg|_0^h \\\\ &= \dfrac{bh^3}{3} - \dfrac{bh^3}{4} \\\\ I_x &= \dfrac{bh^3}{12} \end{array}
  4. Momen inersia di atas bukan momen inersia terhadap sumbu penampang. Jika ingin menentukan momen inersia pada sumbu penampang, I_{xx} , maka kita gunakan formula transformasi momen inersia:
    I_x = I_{xx} + A\bar{y}^2 , dimana \bar{y} = \frac{h}{3}
  5. Menghitung momen inersia terhadap sumbu netral:
    \begin{array}{rl} I_x &= I_{xx} + A\bar{y}^2 \\\\ \dfrac{bh^3}{12} &= I_{xx} + \big( \dfrac{bh}{2} \big) \big( \dfrac{h}{3} \big)^2 \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{12} - \dfrac{bh^3}{18} \\\\ I_{xx} &= \dfrac{bh^3}{36} \end{array}

So,.. kesimpulannya.. untuk segitiga, I_{xx} = \dfrac{bh^3}{36} .[]

12 thoughts on “Momen Inersia Segitiga

  1. basori

    gimana cara mencari titik berat penampang jembatan yg trdri dri persegi pnjg n segitiga

    Reply
  2. Nando Poerba

    Awalnya bingung ngeliat artikel ini gan,..
    Saya sendiri di teknik sipil gk terlalu “open” gimana mencari adanya suatu rumus yang harus kita gunakan untuk merencanakan suatu kontruksi. Karna pada dasarnya teknik sipil tidak mempelajari itu, karna sudah ada jurusan lain yang lebih berwenang untuk mencari rumus tersebut.

    Tapi setelah membaca artikel ini, saya pribadi mrasa “bodoh”.

    Artikel ini sangat menunjang smangat saya agar belajar lagi untuk tidak langsung menerima dan merencanakan.

    Reply
  3. herry

    bapak yg terhormat makasih banyak untuk blognya, sangat bermanfaat dan mohon ijin unduh wassalam

    Reply
  4. Hadibroto

    Salaam Juragan Sipil..

    Untuk lampiran “Momen Inersia Segitiga” nya ada beberapa
    rumus nya yang tidak tampil (Formula doesn’t parse), mohon dikirim keemail saya..
    thanks..

    Mohon “Surat Izin Mengunduh” artikel2 nya Juragan Sipil..

    Semoga menjadi Ilmu yang berguna..

    Wassalam

    Reply
  5. jessen manalu

    maksih pak buat blok yang bermamfaat bagi kami
    moga lebih banyak lagi yang bisa bapak tampilkan buat mendidik anak bangsa ini
    god bless

    Reply
  6. edhy

    Ass..
    Blog bapak sangat bermanfaat sekali. saya berterimah kasih yang sebesar-besarnya semoga ilmu ini dapat bermaanfaat. Amiin,..

    Reply
  7. Abu Jauzi

    Assalamualaikum, izin copy pak Juragan,…boleh kan,..Semoga Ilmu bpak mnjadi amal jariyah, d masa kan dtang,..

    Reply

Boleh komentar di sini