Menghitung Momen Insersia (2)

Posted by juragan on 15-Jul-2009 under Dasar-Dasar Geometri | 23 Comments to Read

Sebenarnya saya lagi menyusun contoh perhitungan balok beton yang lengkap. Tapi karena kelamaan, mending saya lanjut saja sedikit artikel tentang momen inersia. Nulis ini nggak lama kok.. :)

Pada bagian sebelumnya, kita sudah mengetahui formula dasar momen inersia sebuah bangun datar terhadap sumbu netralnya

$$ I_x = \int y^2 dA $$

Kalo momen inersia terhadap sumbu yang BUKAN sumbu netral, formulanya adalah

$$ I_{x’} = I_x + Ay^2 $$

Nah, kali ini kita coba bermain dengan bentuk persegi yang lebih kompleks. Salah satu bentuk persegi yang kompleks adalah bentuk profil baja WF sederhana. Saya sengaja pakai kata “sederhana” karena profil baja WF ini benar-benar tersusun dari bentuk dasar persegi. Sementara profil WF yang sebenarnya biasanya ada tambahan bentuk lengkung di daerah-daerah “ketiak” alias pertemuan pelat badan dan pelat sayap.

18-penampang-wf1

Pada gambar di atas, profil WF terdiri dari 3 bentuk persegi: 2 pelat sayap dan 1 pelat badan. Kedua pelat sayap simetris terhadap sumbu netral x-x. Berikut ini cara menghitung momen inersianya:

  1. Formula momen inersia,
    $$ I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2) $$
    Kita gunakan simbol $$ \Sigma $$ dan indeks $$ i $$ karena obyek penyusun bentuk WF tersebut lebih dari 1.
  2. Indeks-1 : pelat badan
    Lebar = $$ t_w $$
    Tinggi = $$ H-2t_f $$
    Titik pusat pelat badan berimpit dengan titik pusat WF (bisa dibuktikan), sehingga $$ y_1 = 0 $$
    $$ I_{x1} = \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} $$
    $$ A_1{y_1}^2 = 0 \\ $$
  3. Indeks-2 : pelat sayap atas
    Lebar = $$ B $$
    Tinggi = $$ t_f $$
    $$ y_2 = \dfrac{H}{2} – \dfrac{t_f}{2} = \dfrac12 (H-t_f) $$
    $$ I_{x2} = \dfrac{B{t_f}^3}{12} $$
    $$ A_2{y_2}^2 = Bt_f \cdot \big( \dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 $$
  4. Indeks-3 : pelat sayap bawah
    Lebar = $$ B $$
    Tinggi = $$ t_f $$
    $$ y_3 = -(\dfrac{H}{2} – \dfrac{t_f}{2}) = -\dfrac12 (H-t_f) $$
    $$ I_{x3} = \dfrac{B{t_f}^3}{12} $$
    $$ A_3{y_3}^2 = Bt_f \cdot \big( -\dfrac12 (H-t_f) \big) ^2 \quad= \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 $$
    Nilainya sama dengan $$ I_{x2} $$.
  5. Nah.. tinggal dijumlahin semuanya…
    $$ \begin{array}{rl} I_{xx} &= ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) + ( I_{x1} + A_1{y_1}^2) \\ \\ &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12}) + 0 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) + \big( \dfrac{B{t_f}^3}{12} + \dfrac14 Bt_f(H-t_f)^2 \big) \\ \\ I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \end{array} $$
  6. Itulah rumus momen inersia sumbu x-x alias $$ I_{xx} $$ pada penampang baja WF sederhana.

Penyederhanaan

Setelah menimbang, mengingat, mempertimbangkan, beberapa hal.. saya coba memutuskan untuk membuat versi sederhana (baca : praktis) dari formula di atas. Rumus di atas memang susah dihapal sampe tujuh turunan!

Nah, kalo liat formula di atas, ada komponen $$ (H-2t_f) $$ dan $$ (H-t_f) $$. Tinggi $$ H $$ yang dihitung selalu tidak penuh, kadang dikurangi $$ 2t_f $$ dan kadang dikurangi $$ t_f $$. Saya (baca: kita) sih pengennya biar lebih enak dihitung, $$ H $$-nya dihitung full saja. Kenapa tidak? Kita lihat fakta di lapangan bahwa profil WF atau profil I, perbandingan antara tinggi $$ H $$ dan tebal pelat sayap $$ t_f $$ sebagian besar bernilai $$ 30 \pm 4 $$.

Nah, untuk profil baja yang memenuhi perbandingan tersebut, saya coba melakukan trial-error (percobaan yang salah melulu..!!) :D dan akhirnya mencoba membuat formula pendekatan yang lebih sederhana untuk menentukan momen inersia sebuah profil baja IWF.

$$ I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) $$

$$ \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4 $$

Faktor Ketiak

Kenyataannya lagi… pada profil baja baik itu profil baja yang hot-rolled maupun yang built-in, hampir selalu ada tambahan bentuk lengkungan di daerah ketiak yang mempunyai radius tertentu.

18-ketiak-wf

Untuk perhitungan eksaknya, tetap bisa dilakukan dan diturunkan formulanya, tapi belum di sini. Intinya adalah adanya tambahan ketiak tersebut membuat momen inersia yang sebenarnya (aktual) menjadi sedikit lebih besar daripada model sederhana di atas.

Oleh karena itu, penurunan rumus praktisnya pun sedikit dimodifikasi sbb:

$$ I_{xx} \approx \big( \dfrac{t_wH^3}{12} \big) + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) $$

$$ \dfrac{H}{t_f} \approx 30 \pm 4 $$

Bedanya cuma angka 2.7 dan 2.8. Angka 2.7 dipakai jika tidak ingin memperhitungkan faktor ketiak, dan sebaliknya 2.8 jika ingin memperhitungkan ketiak tersebut.

Contoh

Kita ambil salah satu profil baja WF dari tabel Gunung Garuda… (kok Gunung Garuda melulu??)… yaaa… soalnya itu yang paling populer di Indonesia… bukankah orang Indonesia memang suka yang “popularitasnya tinggi?”… (waaah.. mulai nyerempet nih). Yasud… kita ambil profil baja WF 300x150x6.5×9.

Berdasarkan tabel, momen inersia profil tersebut adalah $$ I_{xx} = 7210 cm^4 \quad = 7210\times 10^4 mm^4 $$.

Kita coba hitung-hitung pake formula eksak untuk model sederhananya

$$ H = 300mm \quad B = 150mm \quad t_w = 6.5mm \quad t_f = 9mm $$

$$ \begin{array}{rl} I_{xx} &= \big( \dfrac{t_w(H-2t_f)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{Bt_f}{6} ({t_f}^2 + 3(H-t_f)^2 ) \big) \\ \\ &= \big( \dfrac{6.5(300-2 \cdot 9)^3}{12} \big) + \big( \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 3(300-9)^2) \big) \\ \\ &= 12147291 + 225 \cdot 254124 \\ \\ I_{xx} &= 6932.5 \times 10^4 mm^4 \end{array} $$

Ternyata, untuk WF300x150x6.5×9 tanpa ketiak, momen inersia $$ I_{xx} $$-nya adalah $$ 6932.5 \times 10^4 mm^4 $$

Atau.. kira-kira sekitar 96% dari momen inersia dari tabel.

Sekarang kita coba rumus praktisnya. Tapi coba cek dulu perbandingan tinggi dan tebal pelat sayapnya.

$$ \dfrac{H}{t_f} = \dfrac{300}{9} = 33.333 $$, OK!

Untuk yang tanpa ketiak (perbandingan terhadap hitungan eksak):

$$ \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.7H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.7 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 243081 \\ \\ I_{xx} &= 6931.8 \times 10^4 mm^4 \end{array} $$

Galat 0.01% terhadap hitungan eksak.

Sementara untuk rumus praktis dengan ketiak (perbandingan terhadap tabel):

$$ \begin{array}{rl} I_{xx} &= \dfrac{t_wH^3}{12} + \dfrac{Bt_f}{6} (t_f^2 + 2.8H^2) \\ \\ &= \dfrac{6.5 \cdot 300^3}{12} + \dfrac{150 \cdot 9}{6} (9^2 + 2.8 \cdot 300^2) \\ \\ &= 14625000 + 225 \times 252081 \\ \\ I_{xx} &= 7134.3 \times 10^4 mm^4 \end{array} $$

Galat 1% terhadap nilai dari tabel.

Nah,.. kalo ketemu profil baja WF yang properties-nya tidak ada di tabel, atau mungkin kebetulan kita lagi nggak punya tabel? Yaa.. tinggal hitung sendiri saja.. kan sudah ada formulanya dikasih di atas. Kalo susah ingat formulanya, kan sudah tau konsepnya…

$$ I_{xx} = \Sigma (I_{xi} + A_i{y_i}^2) $$.

Enak tho? Mantep tho??

Rahasia

Psst… ternyata formula praktis di atas juga berlaku untuk momen inersia x-x profil UNP… hihihi.

Epilog:

“paman kok pake istilah ketiak-ketiak sih.. kan jorok… ntar ta’laporin hansip lho paman..”

Waduh… jadi harus pake istilah apa dong??

  • humaedi said,

    pak kalo untuk menghitung profil S gimana caranya ya??
    tolong ya, saya lagi buat skripsi tentang baja ringan profil S.
    terimakasih. hum

  • admin said,

    untuk profil S (kadang ada yang menyebut profil Z), prinsip menghitung momen inersianya juga sama, profil S dibagi menjadi beberapa elemen persegi yang kecil. Bagian lengkungnya boleh diabaikan. Tiap-tiap elemen persegi diketahui panjang, lebar, dan jaraknya terhadap sumbu netral. Dengan konsep I = \Sigma (I_0 + Ay^2)  , momen inersia profil S (secara kasar) bisa dihitung.
    Insya Allah kalo dibutuhkan, kami bisa sediakan contohnya.

  • imanudin Mikail abdesina said,

    mas q skrg kan sedang kuliah smbl bekerja mengambil jurusan teknik sipil, q mohon bantuan mas untuk memberikan referensi buku2 yg hrs d baca untuk teknik sipil soalnya klo hanya mengandalkan dari kuliah q rasa kurang namanya juga kuliah kelas karyawan jd krg maksimal,,,mohon bantuanya,,,!!!!!!!!!

  • admin said,

    @imanudin
    Buku-buku referensi tentang teknik sipil tentu sangat banyak… Tapi untuk dasar-dasar dari mekanika struktur, saya referensikan buku karya Hannah & Hillier, judul : Applied Mechanics, penerbit Longman Scientific & Technical. Isinya adalah tentang mekanika dasar secara umum, mulai dari konsep Statika (mekanika benda diam/tegar), gaya gesek, momentum & impuls, dinamika dan gerak melingkar, konsep dasar tegangan-regangan, konsep dasar gaya dalam (aksial, geser, lentur), bahkan dasar mekanika fluida juga ada.

    Saya tidak tau apakah ada versi terjemahannya, tapi versi Englishnya pun sangat mudah dipahami, karena menggunakan bahasa yang singkat padat jelas, ditambah lagi contoh-contoh soal yang mudah dimengerti.

  • Hadibroto said,

    Salaam Juragan Sipil

    Mohon Artikel “Menghitung Momen Inersia (2)” dikirim ke email saya..
    ada beberapa rumus yg … Formula doesn’t parse.. thanks..

    Wassalam

  • Sipil said,

    terima kasih atas infonya

  • dyah Ap said,

    mw tnya,, sebenarnya sumbu netral dalam profil baja itu sndiri apa bedanya dg smbu lemah n sumbu kuat n sumbu bahan n sumbu nonbahan,, makasih,, (klo bs ada gambarnya jg ya)

  • juragan said,

    sumbu netral adalah sumbu yang memotong titik berat (center of gravity).
    Arahnya bisa bermacam-macam, bisa ke sumbu X, sumbu Y, atau sumbu sembarang.

    Pada penampang WF (normal), sumbu netral arah X sama dengan sumbu kuat penampang. Sementara sumbu netral arah Y sama dengan sumbu lemah penampang.
    Pada penampang WF tidur, sebaliknya.

    Pada penampang bulat atau pipa, tidak ada sumbu kuat maupun sumbu lemah, karena semua arah sumbu mempunyai kekakuan yang sama. Tapi penampang bulat/pipa mempunyai sumbu netral X dan Y yang saling tegak lurus.

    mohon maaf jika belum bisa disertai gambar.[]

  • putri said,

    Mas saya mau tanya, bagaimana perhitungan tentang perkuatan parapet dinding parkir dengan menggunakan baja. Sesuai aturan IBC 2006 pasal 1607.7.3 “struktur parapet harus kuat menahan gaya lateral sebesar 2.67 ton setinggi 45.7 cm dari muka lantai”. Baja UNP berapa yang harus saya pergunakan dan bagaimana perhitungannya.. terimakasih sebelumnya

  • mardi said,

    pak kalo teganagan punti ada gag mateinya?????
    soalnya saya disuruh nyari data tentang mekanika teknik
    sudah banyak saya buka buka tapi gak nemu nemu……

  • bambanghutojo said,

    mbahjuragan mbok aku dikirimi lewat mailku daftar spesfikasi besi IWF karo Channal C sing keno tak enggo ngetung barang seing dipentingke
    suwun ya juragane wong teknik!

  • muh.iftitah said,

    gimana jika yan diketahui hanya S510 x 112 dalam tabel B-3 sifat penampang balok – I (bentuk S ). . tapi kita tidak tahu profil baja yang diinginkan. . ? ?umtu baja bj.37

  • iwan said,

    hapunten juragan…!
    Ikut ngopy artikelnya…….

  • angga pranajaya said,

    mas, saya mau menghitung pusat geser profil pada profil C, udh 2 bulan saya tidak tau caranya mas..
    boleh juga dikirimin juga SNI Baja, mas..

  • sangga said,

    mas kalo momen tahanan sama momen lembam ada contoh perhitunganny g ?

  • novi said,

    mas buat ngitungkhusus titik berat pada ketiak IWF thu gimana?????

  • admin said,

    @novi… wah kalau yang itu, jujur, saya nyontek dari literatur, tabel-tabel geometri. Biasanya di text book mekanika teknik atau analisa struktur ada di bagian lampiran.

  • heri achmad said,

    Salam Bpk Juragan

    mhn bantuannya Bpk,,,,
    Sy butuh daftar spesfikasi besi IWF & Channal C , buat ngitung barang yG
    dibutuhkan,, bs dikirim by emailQ ya Bpk,…JuraGan…

    Terima kasih sebelumnya

  • layunk kumitir said,

    terimakasih akang…..
    semoga ilmu yang akang turunkan bermafaat sampai akhir hayat…
    tapi mau tanya lagi kang….
    momen tahanan / momen lawan / modulus tampang….itu rumusnya bagaimana???? hapunten kang minta di buatkan lagi caranya….

  • CHALIK said,

    terimah kasih atas penjelasan-nya

  • meilan demulawa said,

    terima kasih atas infonya…. semoga ilmunya bisa bermanfaat…. kalo boleh tau buku yang di pakai judulnya apa n pengarangnya siapa????? terima kasih sebelumnya

  • bastian said,

    Rumusnya kok bentuknya ga jelas semua bang. Itu maksudnya ya apa?

  • qia said,

    soalnya kok begitu rumusnya??? gangerti:3

Add A Comment