Menghitung Momen Inersia

Posted by admin on 26-Jun-2009 under Dasar-Dasar Geometri | 19 Comments to Read

Momen inersia penampang adalah salah satu parameter geometri yang sangat penting dalam analisis struktur. Untuk penampang yang beraturan, seperti persegi, formula untuk menghitung momen inersia $$ \dfrac{bh^3}{12} $$ saya yakin kita sudah hapal di luar kepala, bahkan sambil merem juga bisa.

Formula nenek moyang dari momen inersia terhadap sumbu x adalah:

$$I_x = \int y^2 \, dA $$

Kalo untuk sumbu y, yaa tinggal ditukar aja.. y menjadi x, x menjadi y.. gitu aja kok repot. :)

$$I_y = \int x^2 \, dA $$ Dari formula dasar itulah kita bisa menurunkan formula momen inersia untuk bentuk geometri apapun!

Bentuk Persegi

17-momen-inersia-11

Persegi di atas berukuran $$ b \times h $$, dengan sumbu x terletak pada sumbu netral atau garis berat. Berdasarkan formula dasar $$ I_x = \int y^2 \, dA $$, maka kita harus meninjau sebuah elemen kecil $$ \, dA $$. Elemen ini mempunyai ukuran $$ \, dx $$ dan $$ \, dy $$. Sehingga bisa kita tuliskan

$$ dA = \, dx \cdot \, dy $$

Jika kita kumpulkan semua elemen $$ \, dA $$ yang mempunyai nilai $$ y $$ yang sama, maka elemen $$ \, dA $$, kini menjadi

$$ d A = b \cdot \, dy $$, sehingga

$$ I_x = \int by^2 \, dy $$

Karena $$ b $$ bernilai konstan untuk setiap nilai $$ y $$, kita keluarkan saja $$ b $$ dari kurungan cacing tersebut,

$$ I_x = b \int y^2 \, dy $$

Sekarang, tinggal menentukan batas atas dan batas bawah dari $$ \, dy $$. Berdasarkan gambar di atas, maka batas bawahnya adalah $$ -h/2 $$ dan batas atas adalah $$ h/2 $$. Sehingga

$$ I_x = b \int_{\frac{-h}{2}}^{\frac{h}{2}} y^2 \, dy $$

Kalau diselesaikan,

$$ I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} $$

$$ I_x \quad = b \bigg[ (\dfrac{h/2}{3})^3 - (\dfrac{-h/2}{3})^3 \bigg] $$

$$ I_x \quad = b (\dfrac{h^3}{24} – \dfrac{-h^3}{24}) $$

$$ I_x \quad = \dfrac{bh^3}{12} $$

Wow.. itu kan rumus tutup mata yang tadi udah digosipkan di atas!!

Bagaimana Dengan Momen Inersia Terhadap Bukan Sumbu Netral?

Pertanyaan bagus!! (!?.. yang nanya siapa.. yang jawab siapa…)

17-momen-inersia-2

Misalnya, pada gambar di atas, kita mau menentukan I_x  tapi sumbu x-x tidak pada garis berat, melainkan seperti pada gambar.

Kembali lagi ke rumus nemoy (nenek moyank)…

$$ I_x = \int y^2 \, dA $$, jika dilanjutkan kira-kira akan seperti ini

$$ I_x \quad = \int y^2 b \, dy $$

$$ I_x \quad = b \int_0^h y^2 \, dy $$

Stop dulu… (hening)

Kalo diperhatikan… batas bawah dan batas atas integralnya… berbeda..!.

$$ I_x \quad = b \cdot \dfrac{y^3}{3} \big |_0^h $$

$$ I_x \quad = \dfrac{bh^3}{3} $$

Hohoho… ternyata nilainya lebih besar daripada $$ I_x $$ terhadap sumbu netral.

Coba kita geser lebuh jauh lagi ke atas. Lihat gambar di bawah.

17-momen-inersia-3

Mulai dari rumus dasar:

$$ I_x = \int y^2 \, dA $$

Trus… catat: batas bawah = $$ y_o $$, dan batas atas = $$ y_o + h $$

$$ \begin{array}{rl} I_x &= \int_{y_o}^{y_o+h} by^2 \, dy\\ \\ &= b \cdot \dfrac{y^3}{3} \bigg|_{y_o}^{y_o+h} \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \cdot \big[ (y_o + h)^3 - y_o^3 \big] \\ \\ &= \dfrac{b}{3} (y_o^3 + 3y_o^2h + 3y_oh^2 + h^3 – y_o^3) \\ \\ &= \dfrac{b}{3} \big[3y_oh (y_o + h) + h^3 \big] \\ \\ I_x &= \dfrac{bh^3}{3} + by_oh(y_o+h) \end{array} $$

Hmm.. dimodif dikit boleh nggak?… Kita mau paksain ke bentuk nenek moyang.. $$ \dfrac{bh^3}{12} $$. Bijimana caranya?.. simak terus.

$$ \begin{array}{rl} I_x &= \dfrac{4bh^3}{12} + by_oh(y_o+h) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{3bh^3}{12} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + \dfrac{bh^3}{4} + by_o^2h + by_oh^2 \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh( \dfrac{h^2}{4} + y_o^2 + y_oh) \\ \\ &= \dfrac{bh^3}{12} + bh{(y_o + \dfrac{h}{2} )}^2 \end{array} $$

17-momen-inersia-4

Nah… udah kelihatan. $$ bh $$ itu kan tidak lain adalah luas persegi, sementara $$ y_o+\dfrac{h}{2} $$ adalah jarak titik berat ke sumbu momen inersia!.. atau kalo menurut gambar di atas $$ y_o + \dfrac{h}{2} = y $$.

Secara umum bisa dituliskan:

$$ I_x = I_{ox} + Ay^2 $$

dimana,

$$ I_x $$ adalah momen inersia terhadap sumbu x tertentu

$$ I_{ox} $$ adalah momen inersia terhadap sumbu netral (garis berat)

$$ A $$ adalah luas bangun/penampang

$$ y $$ adalah jarak dari titik berat ke sumbu momen inersia yang dicari.

Catatan : untuk tinjauan sumbu-y… tinggal ditukar aja kok.. x jadi y, y jadi x.. :)

Udah ah… ntar disambung lagi.. yang penting kalo udah tau konsep ini, penampang apa pun bisa kita cari momen inersianya..

Penting nggak? Ya penting lah.. soalnya tidak mustahil dalam desain maupun analisis elemen struktur, kita akan menemukan bentuk penampang yang tidak lazim… misalnya profil baja yang ukurannya tidak ada di dalam tabel. :) []

  • Thomas Yanuar said,

    Mmm…misalnya diberi contoh hitungan sederhana, bagaimana? Mungkin bisa lebih membantu memberi bayangan teman2 dalam menghitung inersia suatu bentuk. Terus, cara menghitung Inersia untuk steel member seperti WF, U, I, C dll, yang mungkin pas dilapangan teman2 perlu menghitung cepat tanpa tabel atau menemukan member yang tidak ada dalam tabel.

  • admin said,

    Usul yang bagus pak Thomas. Betul sekali, artikel ini kita coba arahkan ke situ, agar para rekan-rekan tidak “buta” ketika ingin menentukan momen inersia suatu bentuk, terutama bentuk penampang struktur yang tidak lazim. Soalnya tidak jarang kita (atau kami?) dengar “keluhan” dari rekan yang entah putus asa atau “kurang semangat” ketika properti penampang yang ingin mereka cari ternyata tidak ada di dalam tabel.. :) Atau.. seperti kata pak Thomas… untuk yang lagi di lapangan, tidak ada tabel bukan berarti tidak ada momen inersia… :)

  • jhonra volta nababan said,

    thas buat smuanya karena aq dapat lebih mudah mengejakan tugas KP aku di mall carreful di citra garden ,dengan perhitungan momen inersia ini maka aq lebih cepat hitung pembebanan struktur bajanya

  • admin said,

    sama-sama.
    semoga sukses KP nya.

  • maul said,

    a very good web…don’t stop learning, teaching and sharing…

  • ruddien said,

    mohon bantuannya…

    moment rupture definisinya gmn Pak??

    bedanya dengan momen inersia apa??klo bisa tolong di balas lewat email..

    makasih..

  • Abu Jauzi said,

    Boleh d copy ya Pak materinya,…thanks b 4

  • admin said,

    @ruddien, momen rupture kalau tidak salah batas momen (lentur) yang dapat keruntuhan pada suatu penampang. Memang beda dengan momen inersia.

    @pak ABu Jauzi,.. silahkan pak. Tidak bayar kok.. nggak akan dituntut juga.. :) Kalau di copy dan disebar lewat email atau blog lain, mohon dicantumkan saja sumbernya.

  • ruddien said,

    adakah literatur/buku yang membahas momen rupture pada suatu penampang???

  • Nurhadi ikhsan said,

    than’k………rumus nya bisa d ringkas ng’?

  • ISW said,

    yg penting kita tahu filosofinya, contoh diatas mungkin untuk penampang sederhana.CMIIW

    Pak admin, berati klo untuk rumus Iy itu di analog ya jadinya Iy=1/12 hb^3..(CMIIW)

    Salam kenal, silahkan mengunjungi web saya di marih: http://draftersipil.wordpress.com

    sincerely, isw.. :)

  • panji said,

    yang dimaksud dengan sumbu netral tu apa ?

  • admin said,

    Sumbu netral itu bisa dikatakan sebagai sumbu rotasi penampang jika batang itu dibengkokkan/dilenturkan.

    Kalau sumbunya di tengah penampang, maka akan ada serat yang ketarik, ada yang ketekan.

  • admin said,

    @ISW… got it! Betul sekali pendapat pak isw a.k.a iksan…

  • aerith said,

    kalau bentuk’a bulat seperti krak as motor gmn pak ??

    tolong rinciannya …

    makasih .

  • opa said,

    bagaimana dengan rumus momen inersia benda tegar yang bergabung ,,,?
    makasih.

  • ipin said,

    thanks ilmunya..

  • Eko harijoso said,

    Pak Bisa dibantu untuk lightsteel (bja ringaN) untuk mencari moment Inersia, trutama untuk profil UK dan C
    Tks

  • latip permana said,

    . salam sejahtera
    saya mau tanya utk momen inersia dengan penampang sbb
    b=50 mm
    h = 150 mm
    t= 1.6 mm
    momen inersia berapa yah pak. tks

Add A Comment